Треугольник

Треугольник
изображение
Рёбра

3

Символ Шлефли

{3}

Треуго́льникевклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади)[1].

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла, поэтому треугольник можно также определить как многоугольник, у которого имеется ровно три угла[2]. Треугольник является одной из важнейших геометрических фигур, повсеместно используемых в науке и технике, поэтому глубокое исследование его свойств проводилось начиная с глубокой древности.

Понятие треугольника допускает различные обобщения. Можно определить это понятие в неевклидовой геометрии (например, на сфере): на таких поверхностях треугольник определяется как три точки, соединённые геодезическими линиями. В n-мерной геометрии аналогом треугольника является n-й мерный симплекс.

Иногда рассматривают вырожденный треугольник, три вершины которого лежат на одной прямой. Если не оговорено иное, треугольник в данной статье предполагается невырожденным.

Содержание

Основные элементы треугольника

Стандартные обозначения

Вершины и углы

Традиционно вершины треугольника обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: , а противолежащие им стороны — теми же строчными буквами (см. рисунок). Треугольник с вершинами A, B и C обозначается как Стороны можно также обозначать буквами ограничивающих их вершин:

Треугольник имеет следующие углы:

  • угол  — угол, образованный сторонами и и противолежащий стороне ;
  • угол  — угол, образованный сторонами и и противолежащий стороне ;
  • угол  — угол, образованный сторонами и и противолежащий стороне .

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α, β, γ).

Внешним углом DCA плоского треугольника ABC при данной вершине C называется угол, смежный внутреннему углу ACB треугольника при этой вершине

Внешним углом DCA плоского треугольника ABC при данной вершине C называется угол, смежный внутреннему углу ACB треугольника при этой вершине (см. рис.). Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. Внешний угол может принимать значения от 0 до 180°.

Периметром треугольника называют сумму длин трёх его сторон, а половину этой величины называют полупериметром.

Классификация треугольников

Типы треугольников
Остроугольный треугольник
Остроугольный
Тупоугольный треугольник
Тупоугольный
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный
Разносторонний треугольник
Разносторонний
Равнобедренный треугольник
Равнобедренный
Равносторонний треугольник
Равносторонний


По величине углов

Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников[2]:

  • Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;
  • Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;
  • Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

По числу равных сторон

  • Разносторонним называется треугольник, у которого все три стороны не равны.
  • Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  • Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

Медианы, высоты, биссектрисы

Медианы в треугольнике

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах медиан называется срединным треугольником. Основания медиан данного треугольника образуют так называемый дополнительный треугольник. Длину медианы опущенной на сторону можно найти по формулам:

     для других медиан аналогично.


Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Треугольник с вершинами в основаниях высот называется ортотреугольником.

Длину высоты опущенной на сторону можно найти по формулам:

     для других высот аналогично.


Биссектриса AD делит пополам угол A

Биссектрисой (биссéктором) треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).

Если треугольник разносторонний (не равнобедренный), то биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины. Ещё одно важное свойство биссектрисы: она делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим к ней сторонам[3].

Длину биссектрисы опущенной на сторону можно найти по одной из формул:

, где - полупериметр.
    здесь — высота.

Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.

Описанная и вписанная окружности

Треугольник АВС и его окружности: вписанная (синяя), описанная (красная) и три вневписанные (зелёные)

Описанная окружность (см. рис. справа) — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность всегда единственна, её центр совпадает с точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины сторон. В тупоугольном треугольнике этот центр лежит вне треугольника[3].

Вписанная окружность (см. рис. справа) — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром, он совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.

Следующие формулы позволяют вычислить радиусы описанной R и вписанной r окружностей.

где — площадь треугольника, — его полупериметр.
,

где ha и т. д. — высоты, проведённые к соответствующим сторонам;[4]:p.79

Ещё два полезных соотношения:

[5]
.

Признаки равенства треугольников

Равенство по двум сторонам и углу между ними
Равенство по стороне и двум прилежащим углам
Равенство по трем сторонам

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:

  1. a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу между ними);
  2. a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
  3. a, b, c (равенство по трём сторонам).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  1. по катету и гипотенузе;
  2. по двум катетам;
  3. по катету и острому углу;
  4. по гипотенузе и острому углу.

Дополнительный признак: треугольники равны, если у них совпадают две стороны и угол, лежащий против большей из этих сторон[6].

В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского существует признак равенства треугольников по трём углам.

Признаки подобия треугольников

Основные свойства элементов треугольника

Свойства углов

Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы[6].

Каждый внешний угол треугольника равен разности между 180° и соответствующим внутренним углом. Для внешнего угла также имеет место теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол равен сумме двух других внутренних углов, с ним не смежных[6].

Неравенство треугольника

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон невырожденного треугольника связаны следующими неравенствами:

  • ;
  • ;
  • .

Дополнительное свойство: каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.[6]

Теорема о сумме углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°:

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше.

Теорема синусов

,

где — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Теорема косинусов

.

Является обобщением теоремы Пифагора.

  • Замечание. теоремой косинусов также называют следующие две формулы, легко выводимые из основной теоремы косинусов (см. с. 51, ф. (1.11-2))[7].
,
.

Теорема о проекциях

Источник: [8].

Теорема тангенсов

Другое название: формула Региомонтана.

Теорема котангенсов

Решение треугольников

Вычисление неизвестных сторон и углов треугольника, исходя из известных, исторически получило название «решения треугольников». При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы, а также признаки равенства и подобия треугольников.

Площадь треугольника

Далее используются обозначения
Площадь треугольника связана с его основными элементами следующими соотношениями.
  1. , так как , то:
  2. формула Герона
  3. — ориентированная площадь треугольника.
  4. — см. Аналоги формулы Герона
Частные случаи
  1. — для прямоугольного треугольника
  2. — для равностороннего треугольника

Другие формулы

  • Существуют другие формулы, такие, как например,[9]

для угла α ≠ 90°.

  • Обозначим через — радиус вписанной окружности, а через . Тогда имеем[10]
  • В 1885, Бейкер (Baker)[11] предложил список более ста формул площади треугольника. Он, в частности, включает:
.

Неравенства для площади треугольника

Для площади справедливы неравенства:

  • , причём оба равенства достигаются.
  • , где равенство достигается для равнобедренного прямоугольного треугольника.
  • Площадь треугольника с периметром p меньше или равна . Равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний (правильный треугольник)[12][13]:657.
  • Другие границы для площади S даются формулами[14]:p.290

и

где в обоих случаях равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний (правильный).

Дополнительные сведения

Все факты, изложенные в этом разделе, относятся к евклидовой геометрии.

  • Отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне, называется чевианой. Обычно под чевианой понимают не один такой отрезок, а один из трех таких отрезков, проведенных из трех разных вершин треугольника и пересекающихся в одной точке. Они удовлетворяют условиям теоремы Чевы.
  • Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Три средние линии треугольника разделяют его на четыре равных треугольника в 4 раза меньшей площади, чем площадь исходного треугольника.
  • Серединные перпендикуляры (медиатриссы) к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.
  • Кливер треугольника — это отрезок, одна вершина которого находится в середине одной из сторон треугольника, вторая вершина находится на одной из двух оставшихся сторон, при этом кливер разбивает периметр пополам.
  • Некоторые точки в треугольнике — «парные». Например, существует две точки, из которых все стороны видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Они называются точками Торричелли. Также существует две точки, проекции которых на стороны лежат в вершинах правильного треугольника. Это — точки Аполлония. Точки и такие, что и называются точками Брокара.

Некоторые замечательные прямые треугольника

Трилинейные поляры (прямые) треугольника

Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида
Построение трилинейной поляры точки Y
  • Трилинейная поляра точки P (полюса) относительно невырожденного треугольника это - прямая линия, определяемая следующим построением. Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки (на рис. дано построение трилинейной поляры EDF красной точки Y).
  • Трилинейной полярой центроида является бесконечно удаленная прямая — (см. рис.)
Ось Лемуана — трилинейная поляра точки Лемуана показана красным цветом
  • Трилинейная полярой точки Лемуана служит ось Лемуана (см. рис.)
Ось внешних биссектрис или антиортовая ось (antiorthic axis) - трилинейная поляра центра вписанной окружности (инцентра) треугольника ABC)
  • Все три основания D, E и F трех внешних биссектрис соответственно AD, CE и BF внешних углов треугольника ABC лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис или антиортовой осью DEF (antiorthic axis) (см. рис.). Эта ось также является трилинейной полярой центра вписанной окружности (инцентра).
Ортоцентрическая ось (Orthic axis) - трилинейная поляра ортоцентра
  • Ортоцентрическая ось DEF (Orthic axis) — трилинейная поляра ортоцентра (см. рис.)

Вписанные и описанные фигуры для треугольника

Преобразования

Ниже описаны 3 вида преобразований: 1) Изогональное сопряжение, 2) Изотомическое сопряжение, 3) Изоциркулярноое преобразование.

Изогональное сопряжение

Изогональные сопряжения линий треугольника

  • Под действием изогонального сопряжения прямые переходят в описанные коники, а описанные коники — в прямые.
  • Так, изогонально сопряжены:
  • Некоторые известные кубики — например, кубика Томсона — изогонально самосопряжены в том смысле, что при изогональном сопряжении всех их точек в треугольнике снова получаются кубики.

Изотомическое сопряжение

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники.

При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры

  • Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности. Это означает то, что если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке , лежит на трилинейной поляре точки , тогда трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке лежит на трилинейной поляре точки .
  • Трилинейная поляра точки Y, изогонально сопряженной для точки X треугольника, называется центральной линией точки X [17][18].

Изоциркулярное преобразование

Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием. Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция — проективное преобразование, которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.

Трилинейные поляры треугольника

Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки. Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра; трилинейной полярой центра вписанной окружности служит ось внешних биссектрис. Трилинейные поляры точек, лежащих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это — точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид).

Тригонометрические тождества только с углами

Три положительных угла α, β и γ, каждый из которых меньше 180°, являются углами треугольника тогда и только тогда, когда выполняется любое одно из следующих соотношений:

(первое тождество для тангенсов)

Замечание. Соотношение выше применимо только тогда, когда ни один из углов не равен 90° (в таком случае функция тангенса всегда определена).

[19]

(второе тождество для тангенсов)

(первое тождество для синусов)
[19] (второе тождество для синусов)
[5] (тождество для косинусов)
(тождество для отношения радиусов)

Разные соотношения

Метрические соотношения в треугольнике приведены для :

  •  — формула Эйлера
  • [4]:p.70

Где:

  • , и  — стороны треугольника,
  •  — отрезки, на которые биссектриса делит сторону ,
  •  — медианы, проведённые соответственно к сторонам , и ,
  •  — высоты, опущенные соответственно на стороны , и ,
  •  — радиус вписанной окружности,
  •  — радиус описанной окружности,
  •  — полупериметр,
  •  — площадь,
  •  — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.
  • Для любого треугольника, у которого стороны связаны неравенствами , а площадь равна , длины срединных перпендикуляров или медиатрис, заключенных внутри треугольника, опущенных на соответствующую сторону (отмеченную нижним индексом), равны[20]:Corollaries 5 and 6:

and

Формулы площади треугольника в декартовых координатах на плоскости

Обозначения
  • — координаты вершин треугольника.

Общая формула площади треугольника в декартовых координатах на плоскости

В частности, если вершина A находится в начале координат (0, 0), а координаты двух других вершин есть B = (xB, yB) и C = (xC, yC), то площадь может быть вычислена в виде 12 от абсолютного значения определителя

Последнюю формулу площади треугольника в английской литературе именуют формулой площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка (shoelace formula), или геодезической формулой (surveyor’s formula[21]), или формулой площади Гаусса.

Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов

Пусть вершины треугольника находятся в точках , , .

Введём вектор площади . Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:

Положим , где , , — проекции треугольника на координатные плоскости. При этом

и аналогично

Площадь треугольника равна .

Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона.

Вычисление площади треугольника через комплексные декартовы координаты его вершин

Если обозначить комплексные декартовы координаты (на комплексной плоскости) вершин треугольника соответственно через a = xA + yAi, b = xB + yBi и c = xC + yCi и обозначить их комплексно сопряженные точки соответственно через , и , тогда получим формулу:

что эквивалентно формуле площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка (shoelace formula), или геодезической формуле (surveyor’s formula[21]), или формуле площади Гаусса.

Треугольник в неевклидовых геометриях

На сфере

Сферический треугольник

Свойства треугольника со сторонами a, b, c и углами A, B, C.

Сумма углов (невырожденного) треугольника строго больше .

Любые подобные треугольники равны.

Теорема синусов (здесь и далее сторону сферического треугольника принято измерять не линейной мерой, а величиной опирающегося на неё центрального угла):

Теоремы косинусов:

На плоскости Лобачевского

Для треугольника со сторонами a, b, c и углами A, B, C.

Сумма углов (невырожденного) треугольника строго меньше .

Как и на сфере, любые подобные треугольники равны.

Теорема синусов

Теоремы косинусов

Связь суммы углов с площадью треугольника

Значение для суммы углов треугольника во всех трёх случаях (евклидова плоскость, сфера, плоскость Лобачевского) является следствием формулы Гаусса — Бонне

В случае треугольника эйлерова характеристика χ=1. Углы φi — это внешние углы треугольника. Значение величины K (гауссовой кривизны) — это K=0 для евклидовой геометрии, K=1 для сферы, K=-1 для плоскости Лобачевского.


Треугольник в римановой геометрии

История изучения

Свойства треугольника, изучающиеся в школе, за редким исключением, известны с ранней античности. Зачатки тригонометрических знаний можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.[22]

Общая и достаточно полная теория геометрии треугольников (как плоских, так и сферических) появилась в Древней Греции[23]. В частности, во второй книге «Начал» Евклида теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов для тупоугольных треугольников[24]. Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников.

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров[25]. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен.

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались «зиджи»; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теории[26]. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век).

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X века[27]. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольника[28]. Сферическая теорема косинусов в общем виде сформулирована в странах ислама не была, однако в трудах Сабита ибн Курры, ал-Баттани и других астрономов имеются эквивалентные ей утверждения[29].

Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году[30]. Его «Трактат о полном четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём углам[31]. Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, необходимые для практической работы с треугольниками.

В Европе развитие тригонометрической теории стало чрезвычайно важным в Новое время, в первую очередь для артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. В 1551 году появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10"[32]. Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций. Среди других открытий Непера — эффективный алгоритм решения сферических треугольников, получивший название «формулы аналогии Непера»[33].

Изучение свойств треугольника продолжилось в XVII веке: была доказана теорема Дезарга (1636], открыты некоторые свойства точки Торричелли (1659). В XVIII веке была обнаружена прямая Эйлера и окружность шести точек (1765). В 1828 году была доказана теорема Фейербаха. В начале XIX века была открыта точка Жергонна. Алгебраизация тригонометрии, начатая Франсуа Виетом, была завершена Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Многие факты, связанные с треугольником, были открыты в конце XIX века. К этому времени относится творчество Эмиля Лемуана, Анри Брокара, Жозефа Нейберга, Пьера Сонда́.

См. также

Дополнительные статьи о геометрии треугольника можно найти в категориях:

Примечания

  1. Треугольник // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5.
  2. 1 2 Справочник по элементарной математике, 1978, с. 218.
  3. 1 2 Справочник по элементарной математике, 1978, с. 221.
  4. 1 2 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
  5. 1 2 Longuet-Higgins, Michael S., «On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle», Mathematical Gazette 87, March 2003, 119—120.
  6. 1 2 3 4 Справочник по элементарной математике, 1978, с. 219.
  7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973.
  8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, ф. 1.11-4.
  9. Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral, " Mathematical Gazette 93, July 2009, 306—309.
  10. Pathan, Alex, and Tony Collyer, "Area properties of triangles revisited, " Mathematical Gazette 89, November 2005, 495—497.
  11. Baker, Marcus, "A collection of formulae for the area of a plane triangle, " Annals of Mathematics, part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134—138; part 2 in vol. 2(1), September 1885, 11-18. The formulas given here are #9, #39a, #39b, #42, and #49. The reader is advised that several of the formulas in this source are not correct.
  12. Chakerian, G. D. «A Distorted View of Geometry.» Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
  13. Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; and Wulf, Daniel B. «Heron triangles and moduli spaces», Mathematics Teacher 101, May 2008, 656—663.
  14. Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar, The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
  15. Rigby, 1997, с. 156–158.
  16. В. В. Прасолов. Точки Брокара и изогональное сопряжение. — М.: МЦНПО, 2000. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-49-9.
  17. Kimberling, Clark (June 1994). «Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle». Mathematics Magazine 67 (3): 163–187. DOI:10.2307/2690608.
  18. Kimberling Clark. Triangle Centers and Central Triangles. — Winnipeg, Canada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. — P. 285.
  19. 1 2 Vardan Verdiyan & Daniel Campos Salas, «Simple trigonometric substitutions with broad results», Mathematical Reflections no 6, 2007.
  20. Mitchell, Douglas W. (2013), «Perpendicular Bisectors of Triangle Sides», Forum Geometricorum 13, 53-59.
  21. 1 2 Bart Braden (1986). «The Surveyor’s Area Formula». The College Mathematics Journal 17 (4): 326–337. DOI:10.2307/2686282.
  22. van der Waerden, Bartel Leendert. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. — Springer, 1983. — ISBN 3-540-12159-5.
  23. Глейзер Г. И., 1982, с. 77.
  24. Глейзер Г. И., 1982, с. 94—95.
  25. Матвиевская Г. П., 2012, с. 40—44.
  26. Матвиевская Г. П., 2012, с. 51—55.
  27. Матвиевская Г. П., 2012, с. 92—96.
  28. Матвиевская Г. П., 2012, с. 111.
  29. Матвиевская Г. П., 2012, с. 96—98.
  30. Туси Насирэддин. Трактат о полном четырёхстороннике. Баку, Изд. АН АзССР, 1952.
  31. Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1960. — Т. I. — С. 105.
  32. История математики, том I, 1970, с. 320.
  33. Степанов Н. Н. § 42. Формулы «аналогии Непера» // Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 87—90. — 154 с.

Литература

История
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1982. — С. 76-95. — 240 с.
  • История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
  • Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье. — Изд. 2-е. — М.: Либроком, 2012. — 160 с. — (Физико-математическое наследие: математика (история математики)). — ISBN 978-5-397-02777-9.

Ссылки

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «треугольник»