Треугольник

Треугольник
изображение
Рёбра

3

Символ Шлефли

{3}

Треуго́льникевклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. Другими словами, треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла. Если три точки лежат на одной прямой, то «треугольник» с вершинами в трёх данных точках называется вырожденным. Все остальные треугольники невырожденные.

В неевклидовых пространствах в качестве сторон треугольника выступают геодезические линии, которые, как правило, являются криволинейными. Поэтому такие треугольники называют криволинейными. Важным частным случаем неевклидовых треугольников являются сферические треугольники.

Содержание

Элементы треугольника

Стандартные обозначения

Треугольник с вершинами A, B и C обозначается как \Delta ABC (см. рис.). Треугольник \Delta ABC имеет три стороны:

  • сторона AB;
  • сторона BC;
  • сторона CA.

Длины сторон треугольника обозначаются строчными латинскими буквами (a, b, c):

  • |AB|=c;
  • |BC|=a;
  • |AC|=b.

Треугольник \Delta ABC имеет следующие углы:

  • угол \angle A=\angle BAC — угол, образованный сторонами AB и AC и противолежащий стороне BC;
  • угол \angle B=\angle ABC — угол, образованный сторонами AB и BC и противолежащий стороне AC;
  • угол \angle C=\angle ACB — угол, образованный сторонами BC и AC и противолежащий стороне AB.

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α, β, γ).

Внешним углом DCA плоского треугольника ABC при данной вершине C называется угол, смежный внутреннему углу ACB треугольника при этой вершине
  • Внешним углом DCA плоского треугольника ABC при данной вершине C называется угол, смежный внутреннему углу ACB треугольника при этой вершине (см. рис.). Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины.

Свойства

  • Внешний угол равен разности между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от 0 до 180°.
  • Для внешнего угла треугольника справедлива Теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника равен сумме двух других внутренних углов, с ним не смежных.

Признаки равенства треугольников

Равенство по двум сторонам и углу между ними
Равенство по стороне и двум прилежащим углам
Равенство по трем сторонам

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:

  1. a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу между ними);
  2. a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
  3. a, b, c (равенство по трём сторонам).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  1. по катету и гипотенузе;
  2. по двум катетам;
  3. по катету и острому углу;
  4. по гипотенузе и острому углу.

В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского существует признак равенства треугольников по трём углам.

Типы треугольников

Типы треугольников
Остроугольный треугольник
Остроугольный
Тупоугольный треугольник
Тупоугольный
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный
Разносторонний треугольник
Разносторонний
Равнобедренный треугольник
Равнобедренный
Равносторонний треугольник
Равносторонний

По величине углов

сумма углов треугольника равна 180°.

Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

  • Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;
  • Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;
  • Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше. Разность суммы углов треугольника и 180° называется дефектом. Дефект пропорционален площади треугольника, таким образом, у бесконечно малых треугольников на сфере или плоскости Лобачевского сумма углов будет мало отличаться от 180°.

По числу равных сторон

  • Разносторонним (неравносторонним) называется треугольник, у которого все три стороны не равны.
  • Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.
  • Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Определения, связанные с треугольником

Все факты, изложенные в этом разделе, из евклидовой геометрии.

Лучи, отрезки и точки

  • Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах медиан называется срединным треугольником.
  • Основания медиан данного треугольника образуют так называемый дополнительный треугольник.
  • Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Треугольник с вершинами в основаниях высот называется ортотреугольником.
  • Биссектрисой (биссéктором) треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).
  • Отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне, называется чевианой. Обычно под чевианой понимают не один такой отрезок, а один из трех таких отрезков, проведенных из трех разных вершин треугольника и пересекающихся в одной точке. Они удовлетворяют условиям теоремы Чевы.
  • Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Три средние линии треугольника разделяют его на четыре равных треугольника в 4 раза меньшей площади, чем площадь исходного треугольника.
  • Серединные перпендикуляры (медиатриссы) к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.
  • В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.
  • * Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то внутренняя биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
  • Кливер треугольника — это отрезок, одна вершина которого находится в середине одной из сторон треугольника, вторая вершина находится на одной из двух оставшихся сторон, при этом кливер разбивает периметр пополам.
  • Некоторые точки в треугольнике — «парные». Например, существует две точки, из которых все стороны видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Они называются точками Торричелли. Также существует две точки, проекции которых на стороны лежат в вершинах правильного треугольника. Это — точки Аполлония. Точки P и Q такие, что \angle ABP = \angle BCP = \angle CAP и \angle BAP = \angle CBP = \angle ACP называются точками Брокара.

Некоторые замечательные прямые треугольника

Трилинейные поляры (прямые) треугольника

Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида
Построение трилинейной поляры точки Y
  • Трилинейная поляра точки P (полюса) относительно невырожденного треугольника это - прямая линия, определяемая следующим построением. Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки (на рис. дано построение трилинейной поляры EDF красной точки Y).
  • Трилинейной полярой центроида является бесконечно удаленная прямая — (см. рис.)
Ось Лемуана — трилинейная поляра точки Лемуана показана красным цветом
  • Трилинейная полярой точки Лемуана служит ось Лемуана (см. рис.)
Ось внешних биссектрис или антиортовая ось (antiorthic axis) - трилинейная поляра центра вписанной окружности (инцентра) треугольника ABC)
  • Все три основания D, E и F трех внешних биссектрис соответственно AD, CE и BF внешних углов треугольника ABC лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис или антиортовой осью DEF (antiorthic axis) (см. рис.). Эта ось также является трилинейной полярой центра вписанной окружности (инцентра).
Ортоцентрическая ось (Orthic axis) - трилинейная поляра ортоцентра
  • Ортоцентрическая ось DEF (Orthic axis) — трилинейная поляра ортоцентра (см. рис.)

Треугольники, вписанные в данный опорный треугольник

  • Треугольник с вершинами в основаниях трех чевиан, проведённых через данную точку, называется чевианным треугольником этой точки.
  • Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.
  • Треугольник с вершинами во вторых точках пересечения прямых, проведённых через вершины и данную точку, с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником. Теорема: окружностно-чевианный треугольник подобен подерному[1].
  • Треугольник оснований медиан A′B′C′ данного треугольника ABC, то есть треугольник, вершины которого суть средины сторон треугольника ABC, называется дополнительным, или серединным, для данного треугольника.
  • Ортотреугольник — треугольник с вершинами в основаниях высот данного треугольника. Стороны ортотреугольника антипараллельны соответствующим сторонам данного треугольника.

Треугольники, описанные около данного опорного треугольника

  • Треугольник A″B″C″, стороны которого проходят через вершины треугольника ABC и параллельны противолежащим его сторонам, называется антидополнительным для данного треугольника ABC.
  • Если вокруг данного остроугольного треугольника ∆ABC описать окружность и в трёх вершинах треугольника провести прямые, касательные к окружности, то пересечение этих прямых образует так называемый тангенциальный треугольник ΔA′B′C′ по отношению к данному треугольнику ΔABC. Стороны тангенциального треугольника ΔA′B′C′ антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника и параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
  • Если вне данного треугольника ∆ABC провести через его вершины три его внешние биссектрисы, то они пересекутся в трёх центрах вневписанных окружностей, образуя треугольник трёх внешних биссектрис.

Другие треугольники, расположенные внутри данного опорного треугольника

Окружности треугольника

Треугольник АВС и его окружности: вписанная (синяя), описанная (красная) и три вневписанных (зеленые)

Окружности, проходящие через вершины треугольника

  • Описанная окружность (см. рис. справа) — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность всегда единственна, если треугольник не вырожден особым образом, то есть две из трех его вершин не совпадают.
Антикомплементарная окружность (красная, радиус 2r) треугольника ΔABC касается трёх окружностей Джонсона, и центры окружностей лежат на отрезках (оранжевые), соединяющих общую точку пересечения H и точки касания. Точки касания образуют антикомплементарный треугольник, ΔPAPBPC (зелёный).
  • Окружность Джонсона — любая из трех окружностей (см. рис. справа), проходящая через две вершины треугольника и через его ортоцентр. Радиусы всех трех окружностей Джонсона равны. Окружности Джонсона являются описанными окружностями треугольников Гамильтона, имеющих в качестве двух вершин две вершины данного остроугольного треугольника, а в качестве третьей вершины имеющих его ортоцентр.

Окружности, касающиеся сторон треугольника или их продолжений

Окружности Мальфатти
  • Три окружности Мальфатти треугольника (см. рис. справа). Каждая из них касается двух сторон треугольника и двух других окружностей Мальфатти.
    • Если провести три прямые, соединяющие центр каждой окружности Мальфатти с точкой касания между собой двух других, то они пересекутся в одной точке — в точке Аджима-Мальфатти (Ajima-Malfatti)[2].
Полувписанные окружности
  • Три полувписанные окружности или окружности Веррьера (см. рис. слева). Каждая из них касается двух сторон треугольника и описанной окружности внутренним образом.
    • Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии, которая переводит описанную окружность во вписанную.
  • Лемма Веррьера[3]. Точки касания окружностей Веррьера со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности (инцентр).

Окружности, взаимно касающиеся друг друга внутри треугольника

  • Три окружности Мальфатти попарно касаются друг друга внутри треугольника. (см. выше)
  • Окружность девяти точек или окружность Эйлера касается вписанной окружности внутри треугольника в точке Фейербаха.

Окружности, взаимно касающиеся друг друга вне треугольника

  • Три окружности Веррьера касаются описанной окружности вне треугольника.
  • Окружность девяти точек или окружность Эйлера касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внешним образом (Теорема Фейербаха, см. рисунок).
Иллюстрация к теореме Фейербаха. Точкой Фейербаха F считается наиболее близкая к вершине A отмеченная жирно точка на окружности
  • Окружность Аполлония касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внутренним образом (см. рисунок)
Иллюстрация к окружности Аполлония
  • Три окружности Джонсона (см. выше) касаются внешним образом антикомплементарной окружности (красная на рисунке справа выше, радиус 2r) треугольника ΔABC. Центры окружностей Джонсона лежат на отрезках (оранжевые), соединяющих общую точку пересечения высот H и точки касания этих трех окружностей с антикомплементарной окружностью.. Эти точки касания образуют антидополнительный или (что то же самое) антикомплементарный треугольник \triangle P_{A}P_{B}P_{C} (зелёный на рисунке выше).

Другие окружности

Окружность Ламуна
  • Центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами, лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.
Окружность Конвея
  • Если от каждой вершины отложить наружу треугольника на прямых, содержащих стороны, отрезки, равные по длине противоположным сторонам, то получившиеся шесть точек лежат на одной окружности — окружности Конвея.

Определение перспектора коники

Вписанная коника (эллипс) и её перспектор
  • В треугольник можно вписать бесконечно много коник (эллипсов, парабол или гипербол).
  • Если в треугольник вписать произвольную конику и соединить точки касания с противоположными вершинами, то получившиеся прямые пересекутся в одной точке, называемой перспектором коники.
  • Для любой точки плоскости, не лежащей на стороне или на её продолжении существует вписанная коника с перспектором в этой точке[4].

Эллипсы треугольника

Определение вписанного эллипса Штейнера

Описанный эллипс Штейнера и чевианы, проходящие через его фокусы
  • В треугольник можно вписать бесконечно много эллипсов.
  • В треугольник можно вписать единственный эллипс, который касается сторон в их серединах. Такой эллипс называется вписанным эллипсом Штейнера (его перспектором будет центроид треугольника)[5].
  • «Определение перспектора коники» (включая конику-эллипс) см. выше.

Определение описанного эллипса Штейнера

  • Около треугольника можно описать бесконечно много эллипсов.
  • Oколо треугольника можно описать единственный эллипс, который касается прямых, проходящих через вершины и параллельных сторонам. Такой эллипс называется описанным эллипсом Штейнера.
  • Фокусы описанного эллипса Штейнера называют точками Скутина.
  • Чевианы, проведённые через фокусы описанного эллипса Штейнера (точки Скутина), равны (теорема Скутина)

Аффинное преобразование эллипса Штейнера

Эллипс Брокара

Эллипс Брокара и его перспектор — точка Лемуана

Эллипс Мандарта (Mandart inellipse)

Эллипс Мандарта (красный) вписан в треугольник (черный) в точках касания сторон с вневписанными окружностями(серые). Линии, проходящие через точку Нагеля (N)(зеленые); линии, проходящие через центр эллипса (mittenpunkt) (голубые)(M).
  • Эллипс Мандарта (или Мандара) треугольника — вписанный в треугольник эллипс, касающийся его сторон в точках касания их с вневписанными окружностями (см. рис. справа).

Соотношение для произвольного эллипса, вписанного в треугольник

Если произвольный эллипс, вписан в треугольник ABC и имеет фокусы P и Q, тогда для него справедливо соотношение[8]

\frac{\overline{PA} \cdot \overline{QA}}{\overline{CA} \cdot \overline{AB}} + \frac{\overline{PB} \cdot \overline{QB}}{\overline{AB} \cdot \overline{BC}} + \frac{\overline{PC} \cdot \overline{QC}}{\overline{BC} \cdot \overline{CA}} = 1.

Параболы, вписанные в треугольник

  • В треугольник можно вписать бесконечно много парабол.
Свойства вписанной параболы

Парабола Киперта

Парабола Киперта

Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта. Её перспектор — четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера

Гиперболы, описанные около треугольника

  • Около треугольника можно описать бесконечно много гипербол.
  • Если описанная около треугольника гипербола проходит через точку пересечения высот, то она равносторонняя (то есть её асимптоты перпендикулярны)[11]. Точка пересечения асимптот равносторонней гиперболы лежит на окружности девяти точек[11].

Гипербола Киперта

Гипербола Киперта
  • Гипербола Киперта — описанная гипербола, проходящая через центроид и ортоцентр. Если на сторонах треугольника построить подобные равнобедренные треугольники (наружу или внутрь), а затем соединить их вершины с противоположными вершинами исходного треугольника, то три таких прямые пересекутся в одной точке, лежащих на гиперболе Киперта. В частности, на этой гиперболе лежат точки Торричелли и точки Наполеона (точки пересечения чевиан, соединяющие вершины с центрами построенных на противоположных сторонах правильных треугольников)[12].

Гипербола Енжабека

Гипербола Фейербаха и точка Фейербаха

Преобразования

Ниже описаны 3 вида преобразований: 1) Изогональное сопряжение, 2) Изотомическое сопряжение, 3) Изоциркулярноое преобразование.

Изогональное сопряжение

Изогональные сопряжения линий треугольника

  • Под действием изогонального сопряжения прямые переходят в описанные коники, а описанные коники — в прямые.
  • Так, изогонально сопряжены:
  • Некоторые известные кубики — например, кубика Томсона — изогонально самосопряжены в том смысле, что при изогональном сопряжении всех их точек в треугольнике снова получаются кубики.

Изотомическое сопряжение

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники.

При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры

  • Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности. Это означает то, что если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке X, лежит на трилинейной поляре точки Y, тогда трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке Y лежит на трилинейной поляре точки X.
  • Трилинейная поляра точки Y, изогонально сопряженной для точки X треугольника, называется центральной линией точки X [16][17].

Изоциркулярное преобразование

Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием. Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция — проективное преобразование, которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.

Трилинейные поляры треугольника

Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки. Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра; трилинейной полярой центра вписанной окружности служит ось внешних биссектрис. Трилинейные поляры точек, лежащих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это — точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид).

Кубики

Кубика (кубическая кривая) — это кривая третьего порядка (задающаяся уравнением третьей степени). Многие замечательные кубики, связанные с треугольником, строятся следующим образом: фиксируется точка в плоскости (возможно, бесконечно удалённая). Тогда множество таких точек X, что прямая XX' проходит через эту точку, является описанной около треугольника кубикой (здесь X' — точка, изогонально сопряжённая X). Такие кубики проходят также через центры вписанной и вневписанных окружностей, а также через саму фиксированную точку и изогонально сопряжённую ей[18].

  • Кубика Дарбу получается, если зафиксировать точку, симметричную ортоцентру относительно центра описанной окружности. Она проходит через точки: инцентр, ортоцентр, центр описанной окружности, точку Лонгчампа (Longchamps point) X(20), другие точки, а также через вершины A, B, C, через центры вневписанных окружностей, через антиподы вершин A, B, C на описанной окружности. Она проходит через ортоцентр и центр описанной окружности. В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта (Berhard Gibert) кубика Дарбу значится как K004[19].
  • Кубика Лукаса. Она проходит через точки: центроид, ортоцентр, точку Жергонна, точку Нагеля, точку Лонгчампа (Longchamps point) X(20), вершины антидополнительного треугольника и через фокусы описанного эллипса Штейнера и другие. В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта (Berhard Gibert) кубика Лукаса значится как K007[20].
  • Кубика Мак-Кэя получится, если в качестве фиксированной точки взять центр описанной окружности. Она также проходит через ортоцентр и центр описанной окружности.
  • Кубика Наполеона-Фейербаха. Она проходит через точки: инцентр, ортоцентр, центр описанной окружности, точку Жергонна, точку Нагеля, точку Лонгчампа (Longchamps point) X(20), первую и вторую точки Наполеона, другие точки, а также через вершины A, B, C, а также через центры вневписанных окружностей, проекции центроида на высоты, центры шести равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC (внешним или внутренним образом). В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта (Berhard Gibert) кубика Наполеона-Фейербаха значится как K005[21].
  • Кубика Нейберга — множество таких точек X, что XX' \parallel OH — прямой Эйлера (зафиксирована её бесконечно удалённая точка). На этой кубике лежит более 15 замечательных точек, в частности, точки Торричелли, Аполлония, ортоцентр, центр описанной окружности, вершины правильных треугольников, построенных на сторонах (внешним или внутренним образом), точки, симметричные вершинам относительно сторон, две точки Ферма, две изодинамические точки, бесконечную точку Эйлера(Euler infinity point), а также лежащие на всех кубиках центры вписанной и вневписанных окружностей. В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта (Berhard Gibert) кубика Нейберга значится как K001[22].
  • Кубика Томсона получается, если в качестве фиксированной точки выбрать центроид. Кубика Томсона проходит через центроид, точку Лемуана, ортоцентр, центр описанной окружности, середины сторон и середины высот вершины A, B, C, через центры вневписанных окружностей. В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта (Berhard Gibert) кубика Томсона значится как K002[23].
  • Первая кубика Брокара. Она проходит через точки: центроид, точку Лемуана, точку Штейнера X(99), две изодинамические точки, точку Парри и другие, а также через вершины 1-го и 3-го треугольников Брокара. В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта (Berhard Gibert) первая кубика Брокара значится как K017[24].
  • Вторая кубика Брокара. Она проходит через точки: центроид, точку Лемуана, две точки Ферма, две изодинамические точки, точку Парри и другие, а также через вершины 2-го и 4-го треугольников Брокара. В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта (Berhard Gibert) вторая кубика Брокара значится как K018[25].
  • Первая кубика равных площадей (1st equal areas cubic). Она проходит через точки: инцентр, точку Штейнера X(99), первую и вторую точки Брокара, центры вневписанных окружностей треугольника. В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта (Berhard Gibert) первая кубика равных площадей значится как K021[26].
  • Вторая кубика равных площадей (2nd equal areas cubic). Она проходит через точки: инцентр, другие точки, а также через следующие точки в обозначениях энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга: X(31), X(105), X(238), X(292), X(365), X(672), X(1453), X(1931), X(2053) и другие. В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта (Berhard Gibert) вторая кубика равных площадей значится как K155[27].

Соотношения в треугольнике

Примечание: в данном разделе ~a, ~b, ~c — это длины трёх сторон треугольника, и  ~\alpha,  ~\beta,  ~\gamma — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы).

Неравенство треугольника

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон треугольника связаны следующими неравенствами:

  • ~a < b+c;
  • ~b < c+a;
  • ~c < a+b.

Неравенство треугольника является одной из аксиом метрики.

Теорема о сумме углов треугольника

\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

Тригонометрические тождества только с углами

Три положительных угла α, β и γ, каждый из которых меньше 180°, являются углами треугольника тогда и только тогда, когда выполняется любое одно из следующих соотношений:

 \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta +  \operatorname{tg}\gamma = \operatorname{tg}\alpha  \operatorname{tg}\beta \operatorname{tg}\gamma, (первое тождество для тангенсов)

Замечание. Соотношение выше применимо только тогда, когда ни один из углов не равен 90° (в таком случае функция тангенса всегда определена).

\operatorname{tg}{\frac{\alpha}{2}}\operatorname{tg}{\frac{\beta}{2}}+\operatorname{tg}{\frac{\beta}{2}}\operatorname{tg}{\frac{\gamma}{2}}+\operatorname{tg}{\frac{\gamma}{2}}\operatorname{tg}{\frac{\alpha}{2}}=1,[28]

(второе тождество для тангенсов)

\sin(2\alpha) + \sin(2\beta) + \sin(2\gamma) = 4\sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma), (первое тождество для синусов)
\sin^2{\frac{\alpha}{2}}+\sin^2{\frac{\beta}{2}}+\sin^2{\frac{\gamma}{2}}+2\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}\sin{\frac{\gamma}{2}}=1,[28] (второе тождество для синусов)
\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)=1,[29] (тождество для косинусов)
\frac {r}{R} = 4\sin\frac {\alpha}{2}\sin\frac {\beta}{2}\sin\frac {\gamma}{2} = \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma - 1 (тождество для отношения радиусов)

Основные теоремы о треугольниках

Теорема синусов

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R ,

где R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Из теоремы следует, что если a < b < c, то ~\alpha < ~\beta < ~\gamma.

Теорема косинусов

 
 ~c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma ;
 ~b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta;
 ~a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha
.

Является обобщением теоремы Пифагора.

  • Замечание. Теоремой косинусов также называют следующие две формулы, легко выводимые из основной теоремы косинусов (см. с. 51, ф. (1.11-2))[30].
 a^2 = (b + c)^2 - 4\cdot b \cdot c \cdot \cos^2 (\alpha/2) ,
 a^2 = (b - c)^2 + 4\cdot b \cdot c \cdot \sin^2 (\alpha/2) .

Теорема о проекциях

См. с. 51, ф. (1.11-4)[31].

 c=  a \cos \beta + b \cos \alpha;\ a=  b \cos \gamma + c \cos \beta;\ b=  c \cos \alpha + a \cos \gamma

Теорема тангенсов

\frac{a-b}{a+b} = \frac{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}; \frac{b-c}{b+c} = \frac{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\beta-\gamma)]}{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\beta+\gamma)]}; \frac{a-c}{a+c} = \frac{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\alpha-\gamma)]}{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\alpha+\gamma)]}

Другое название: формула Региомонтана.

Теорема котангенсов

\frac{p-a}{\operatorname{ctg}(\alpha/2)} = \frac{p-b}{\operatorname{ctg}(\beta/2)} = \frac{p-c}{\operatorname{ctg}(\gamma/2)} = r

Прочие соотношения

Метрические соотношения в треугольнике приведены для \triangle ABC:

Где:

p_a=\tfrac{2aS}{a^2+b^2-c^2}, p_b=\tfrac{2bS}{a^2+b^2-c^2}, and p_c=\tfrac{2cS}{a^2-b^2+c^2}.

Радиусы вписанной и описанной окружностей

Следующие формулы включают радиусы описанной R и вписанной r окружностей:

R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}} = \frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}},
r = \sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}};
\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}

где p — полупериметр треугольника, ha и т. д. высоты, проведенные к соответствующим сторонам;[33]:p.79

\frac{r}{R} = \frac{4 S^{2}}{pabc} = \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma -1;[29]

и

2Rr = \frac{abc}{a+b+c}.

Произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты к третьей стороне, умноженной на диаметр описанной окружности.[33]:p.64:

ab = h_c (2R).
  • Если медиана m, высота h и внутренняя биссектриса t выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса R, тогда [33]:p.122,#96
4R^2h^2(t^2-h^2)=t^4(m^2-h^2).

Решение треугольников

Вычисление неизвестных сторон и углов треугольника, исходя из известных, исторически получило название «решения треугольников». При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы, а также признаки равенства и подобия треугольников.

Площадь треугольника

  1. S_{\triangle ABC}= \frac {1}{2} bh_b, так как \ h_b = a \sin \gamma, то:
  2. S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} ab \sin \gamma
  3. S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} r(a+b+c) = pr = (p-b)r_b
  4. S_{\triangle ABC}=\frac {abc}{4R}
  5. S_{\triangle ABC}= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = {1 \over 4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)} — формула Герона
  6. S_{\triangle ABC}= \frac {a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha}
  7. S_{\triangle ABC}= {2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}
  8. S_{\triangle ABC}=\frac {c^2}{2(\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta)}
  9. S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}) ориентированная площадь треугольника.
  10. S_{\triangle ABC}=\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}})(\frac{1}{h_{c}}+\frac{1}{h_{b}}-\frac{1}{h_{a}})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{c}}-\frac{1}{h_{b}})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}-\frac{1}{h_{c}})}} — см. Аналоги формулы Герона
Частные случаи
  1. S_{\triangle ABC}=\frac{ab}{2} — для прямоугольного треугольника
  2. S=\frac {a^2\sqrt{3}}{4} — для равностороннего треугольника
Обозначения

Другие формулы

  • Существуют другие формулы, такие, как например,[34]
S = \frac{\operatorname{tg} \alpha}{4}(b^{2}+c^{2}-a^{2})

для угла α ≠ 90°.

S = \sqrt{rr_ar_br_c}.
  • В 1885, Бейкер (Baker)[36] предложил список более ста формул площади треугольника. Он, в частности, включает:
S = \frac{1}{2}[abch_ah_bh_c]^{1/3},
S = \frac{1}{2} \sqrt{abh_ah_b},
S = \frac{a+b}{2(h_a^{-1} + h_b^{-1})},
S = \frac{Rh_bh_c}{a}.

Неравенства для площади треугольника

Для площади справедливы неравенства:

  • \sqrt{27}r^2\leqslant S\leqslant \frac{\sqrt{27}}{4}R^2, причём оба равенства достигаются.
  • S\leqslant \frac{1}{4}(a^2+b^2), где равенство достигается для равнобедренного прямоугольного треугольника.
  • Площадь треугольника с периметром p меньше или равна \tfrac{p^2}{12\sqrt{3}},. Равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний (правильный треугольник)[37][38]:657.
  • Другие границы для площади S даются формулами[39]:p.290
4\sqrt{3}S \leq a^2+b^2+c^2

и

4\sqrt{3}S \leq \frac{9abc}{a+b+c},

где в обоих случаях равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний (правильный).

Формулы площади треугольника в декартовых координатах на плоскости

Обозначения
  • \ (x_A,y_A) ; (x_B,y_B) ; (x_C,y_C)  — координаты вершин треугольника.

Общая формула площади треугольника в декартовых координатах на плоскости

S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix}=\frac {\left|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\right|}{2} = \frac {\left|(x_B - x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)\right|}{2}

В частности, если вершина A находится в начале координат (0, 0), а координаты двух других вершин есть B = (xB, yB) и C = (xC, yC), то площадь может быть вычислена в виде 12 от абсолютного значения определителя

T = \frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B|.

Последнюю формулу площади треугольника в английской литературе именуют формулой площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка (shoelace formula), или геодезической формулой (surveyor’s formula[40]), или формулой площади Гаусса.

Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов

Пусть вершины треугольника находятся в точках \ \mathbf{r}_A (x_A,y_A,z_A), \ \mathbf{r}_B (x_B,y_B,z_B), \ \mathbf {r}_C (x_C,y_C,z_C).

Введём вектор площади \ \mathbf{S} =\frac12 [\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A,\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_A]. Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:


 \mathbf{S} =\frac12
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
x_B - x_A & y_B - y_A & z_B - z_A \\
x_C - x_A & y_C - y_A & z_C - z_A
\end{vmatrix}

Положим ~ \mathbf{S} =S_x \mathbf{i}+ S_y \mathbf{j}+ S_z \mathbf{k}, где ~ S_x, ~ S_y, ~ S_z — проекции треугольника на координатные плоскости. При этом


S_x =\frac12
\begin{vmatrix}
y_B - y_A & z_B - z_A \\
y_C - y_A & z_C - z_A
\end{vmatrix} = \frac12
\begin{vmatrix}
1 & y_A & z_A \\
1 & y_B & z_B \\
1 & y_C & z_C
\end{vmatrix}

и аналогично


S_y =\frac12
\begin{vmatrix}
x_A & 1 & z_A \\
x_B & 1 & z_B \\
x_C & 1 & z_C
\end{vmatrix}, \qquad
S_z =\frac12
\begin{vmatrix}
x_A & y_A & 1 \\
x_B & y_B & 1 \\
x_C & y_C & 1
\end{vmatrix}

Площадь треугольника равна S=\sqrt{S_x^2+S_y^2+S_z^2}.

Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона.

Вычисление площади треугольника через комплексные декартовы координаты его вершин

Если обозначить комплексные декартовы координаты (на комплексной плоскости) вершин треугольника соответственно через a = xA + yAi, b = xB + yBi и c = xC + yCi и обозначить их комплексно сопряженные точки соответственно через \bar a, \bar b и \bar c, тогда получим формулу:

T=\frac{i}{4}\begin{vmatrix}a & \bar a & 1 \\ b & \bar b & 1 \\ c & \bar c & 1 \end{vmatrix},

что эквивалентно формуле площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка (shoelace formula), или геодезической формуле (surveyor’s formula[40]), или формуле площади Гаусса.

Теоремы о треугольниках

  • '

История изучения

Свойства треугольника, изучающиеся в школе, за редким исключением, известны с античности.

Теорема Чевы была доказана в XI веке арабским учёным Юсуфом аль-Мутаманом ибн Худом, однако его доказательство было забыто. Она была доказана вновь итальянским математиком Джованни Чевой в 1678 году.

Дальнейшее изучение треугольника началось в XVII веке: была доказана теорема Дезарга (1636), открыты некоторые свойства точки Торричелли (1659). В XVIII веке была обнаружена прямая Эйлера и окружность шести точек (1765). В 1828 году была доказана теорема Фейербаха. В начале XIX века была открыта точка Жергонна.

Многие факты, связанные с треугольником, были открыты в конце XIX века. К этому времени относится творчество Эмиля Лемуана, Анри Брокара, Жозефа Нейберга, Пьера Сонда́.

См. также

Примечания

  1. Система задач по геометрии Р. К. Гордина. Задача 6480
  2. Ajima-Malfatti Point
  3. Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — С. 130. — 334 с.
  4. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 108.
  5. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 54.
  6. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 55.
  7. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 50.
  8. Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, «Proving a nineteenth century ellipse identity», Mathematical Gazette 96, March 2012, 161—165.
  9. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 110.
  10. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 27—28.
  11. 1 2 Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — М.: МЦНМО, 2011. — 148 с. — ISBN 978-5-94057-732-4.
  12. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 125—126.
  13. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 105.
  14. Rigby, 1997, с. 156–158.
  15. В. В. Прасолов. Точки Брокара и изогональное сопряжение. — М.: МЦНПО, 2000. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-49-9.
  16. Kimberling, Clark (June 1994). «Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle». Mathematics Magazine 67 (3): 163–187. DOI:10.2307/2690608.
  17. Kimberling Clark. Triangle Centers and Central Triangles. — Winnipeg, Canada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. — P. 285.
  18. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2004.
  19. K004 at Berhard Gibert’s Cubics in the Triangle Plane // [1]
  20. K007 at Berhard Gibert’s Cubics in the Triangle Plane// [2]
  21. K005 at Berhard Gibert’s Cubics in the Triangle Plane// [3]
  22. K001 at Berhard Gibert’s Cubics in the Triangle Plane// [4]
  23. K002 at Berhard Gibert’s Cubics in the Triangle Plane // [5]
  24. K017 at Berhard Gibert’s Cubics in the Triangle Plane// [6]
  25. K018 at Berhard Gibert’s Cubics in the Triangle Plane// [7]
  26. K021 at Berhard Gibert’s Cubics in the Triangle Plane// [8]
  27. K155 at Berhard Gibert’s Cubics in the Triangle Plane// [9]
  28. 1 2 Vardan Verdiyan & Daniel Campos Salas, «Simple trigonometric substitutions with broad results», Mathematical Reflections no 6, 2007.
  29. 1 2 Longuet-Higgins, Michael S., «On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle», Mathematical Gazette 87, March 2003, 119—120.
  30. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — 832 с.
  31. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — 832 с.
  32. Mitchell, Douglas W. (2013), «Perpendicular Bisectors of Triangle Sides», Forum Geometricorum 13, 53-59.
  33. 1 2 3 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
  34. Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral, " Mathematical Gazette 93, July 2009, 306—309.
  35. Pathan, Alex, and Tony Collyer, "Area properties of triangles revisited, " Mathematical Gazette 89, November 2005, 495—497.
  36. Baker, Marcus, "A collection of formulae for the area of a plane triangle, " Annals of Mathematics, part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134—138; part 2 in vol. 2(1), September 1885, 11-18. The formulas given here are #9, #39a, #39b, #42, and #49. The reader is advised that several of the formulas in this source are not correct.
  37. Chakerian, G. D. «A Distorted View of Geometry.» Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
  38. Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; and Wulf, Daniel B. «Heron triangles and moduli spaces», Mathematics Teacher 101, May 2008, 656—663.
  39. Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar, The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
  40. 1 2 Bart Braden (1986). «The Surveyor’s Area Formula». The College Mathematics Journal 17 (4): 326–337. DOI:10.2307/2686282.

Литература

Ссылки

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «треугольник»