Треугольник

Треуго́льникевклидовом пространстве) — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки, образующие треугольник, называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. Другими словами, треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла. Если три точки лежат на одной прямой, то «треугольник» с вершинами в трёх данных точках называется вырожденным. Все остальные треугольники невырожденные.

В неевклидовых пространствах в качестве сторон треугольника выступают геодезические линии, которые, как правило, являются криволинейными. Поэтому такие треугольники называют криволинейными. Важным частным случаем неевклидовых треугольников являются сферические треугольники.

Элементы треугольника

Стандартные обозначения

Треугольник с вершинами A, B и C обозначается как \Delta ABC (см. рис.). Треугольник \Delta ABC имеет три стороны:

Длины сторон треугольника обозначаются строчными латинскими буквами (a, b, c):

Треугольник \Delta ABC имеет следующие углы:

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α, β, γ).

Признаки равенства треугольников

Равенство по двум сторонам и углу между ними
Равенство по стороне и двум прилежащим углам
Равенство по трем сторонам

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:

  1. a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу между ними);
  2. a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
  3. a, b, c (равенство по трём сторонам).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  1. по катету и гипотенузе;
  2. по двум катетам;
  3. по катету и острому углу;
  4. по гипотенузе и острому углу.

В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского существует признак равенства треугольников по трём углам.

Типы треугольников

Типы треугольников
Остроугольный треугольник
Остроугольный
Тупоугольный треугольник
Тупоугольный
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный
Разносторонний треугольник
Разносторонний
Равнобедренный треугольник
Равнобедренный
Равносторонний треугольник
Равносторонний

По величине углов

сумма углов треугольника равна 180°.

Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше. Разность суммы углов треугольника и 180° называется дефектом. Дефект пропорционален площади треугольника, таким образом, у бесконечно малых треугольников на сфере или плоскости Лобачевского сумма углов будет мало отличаться от 180°.

По числу равных сторон

Определения, связанные с треугольником

Все факты, изложенные в этом разделе, из евклидовой геометрии.

Лучи, отрезки и точки

В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный. Если треугольник разносторонний, то для любой его вершины биссектриса, проведённая из неё, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.

Чевианы, лежащие на прямых, симметричных медианам относительно биссектрис, называются симедианами. Они проходят через одну точку — точку Лемуана.

Некоторые точки в треугольнике — «парные». Например, существует две точки, из которых все стороны видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Они называются точками Торричелли. Также существует две точки, проекции которых на стороны лежат в вершинах правильного треугольника. Это — точки Аполлония. Точки P и Q такие, что \angle ABP = \angle BCP = \angle CAP и \angle BAP = \angle CBP = \angle ACP называются точками Брокара.

Прямые

В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара. На ней лежат точки Аполлония. Также на одной прямой лежат точки Торричелли и точка Лемуана. Основания внешних биссектрис углов треугольника лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис. На одной прямой лежат также точки пересечения прямых, содержащих стороны ортотреугольника, с прямыми, содержащими стороны треугольника. Эта прямая называется ортоцентрической осью, она перпендикулярна прямой Эйлера.

Если на описанной окружности треугольника взять точку, то её проекции на стороны треугольника будут лежать на одной прямой, называемой прямой Симсона данной точки. Прямые Симсона диаметрально противоположных точек перпендикулярны.

Треугольники

Окружности

Треугольник АВС и его окружности: вписанная (синяя), описанная (красная) и три вневписанных (зеленые)
Окружность Эйлера
Окружность Конвея
Окружности Мальфатти
Окружность Ламуна
Полувписанные окружности

Середины трёх сторон треугольника, основания трёх его высот и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек или окружностью Эйлера. Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера. Окружность девяти точек касается вписанной окружности и трёх вневписанных. Точка касания вписанной окружности и окружности девяти точек называется точкой Фейербаха.

Если от каждой вершины отложить наружу треугольника на прямых, содержащих стороны, отрезки, равные по длине противоположным сторонам, то получившиеся шесть точек лежат на одной окружности — окружности Конвея.

В любой треугольник можно вписать три окружности таким образом, что каждая из них касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Такие окружности называются окружностями Мальфатти.

Центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами, лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.

В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии, которая переводит описанную окружность во вписанную. Точки касания окружностей Веррьера со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности.

Отрезки, соединяющие точки касания вписанной окружности с вершинами, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергонна, а отрезки, соединяющие вершины с точками касания вневписанных окружностей — в точке Нагеля.

Эллипсы, параболы и гиперболы

Вписанная коника (эллипс) и её перспектор

В треугольник можно вписать бесконечно много коник (эллипсов, парабол или гипербол). Если в треугольник вписать произвольную конику и соединить точки касания с противоположными вершинами, то получившиеся прямые пересекутся в одной точке, называемой перспектором коники. Для любой точки плоскости, не лежащей на стороне или на её продолжении существует вписанная коника с перспектором в этой точке.[1]

Описанный эллипс Штейнера и чевианы, проходящие через его фокусы

В треугольник можно вписать эллипс, который касается сторон в серединах. Такой эллипс называется вписанным эллипсом Штейнера (его перспектором будет центроид треугольника).[2] Описанный эллипс, который касается прямых, проходящих через вершины параллельно сторонам, называется описанным эллипсом Штейнера. Если аффинным преобразованием («перекосом») перевести треугольник в правильный, то его вписанный и описанный эллипс Штейнера перейдут во вписанную и описанную окружности. Чевианы, проведённые через фокусы описанного эллипса Штейнера (точки Скутина), равны (теорема Скутина). Изо всех описанных эллипсов описанный эллипс Штейнера имеет наименьшую площадь, а изо всех вписанных наибольшую площадь имеет вписанный эллипс Штейнера.[3]

Эллипс Брокара и его перспектор — точка Лемуана

Эллипс с фокусами в точках Брокара называется эллипсом Брокара. Его перспектором служит точка Лемуана.[4]

Свойства вписанной параболы
Парабола Киперта

Перспекторы вписанных парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера.[5] Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр.[6] Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта. Её перспектор — четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера.

Гипербола Киперта

Если описанная гипербола проходит через точку пересечения высот, то она равносторонняя (то есть её асимптоты перпендикулярны).[7] Точка пересечения асимптот равносторонней гиперболы лежит на окружности девяти точек.[7]

Преобразования

Если прямые, проходящие через вершины и некоторую точку, не лежащую на сторонах и их продолжениях, отразить относительно соответствующих биссектрис, то их образы также пересекутся в одной точке, которая называется изогонально сопряжённой исходной (если точка лежала на описанной окружности, то получившиеся прямые будут параллельны). Изогонально сопряжёнными являются многие пары замечательных точек: центр описанной окружности и ортоцентр, центроид и точка Лемуана, точки Брокара. Точки Аполлония изогонально сопряжены точкам Торричелли, а центр вписанной окружности изогонально сопряжён сам себе. Под действием изогонального сопряжения прямые переходят в описанные коники, а описанные коники — в прямые. Так, изогонально сопряжены гипербола Киперта и ось Брокара, гипербола Енжабека и прямая Эйлера, гипербола Фейербаха и линия центров вписанной о описанной окружностей. Описанные окружности подерных треугольников изогонально сопряжённых точек совпадают. Фокусы вписанных эллипсов изогонально сопряжены.

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники. Изотомически сопряжены точки Жергонна и Нагеля. При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием. Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция — проективное преобразование, которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.

Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки. Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра; трилинейной полярой центра вписанной окружности служит ось внешних биссектрис. Трилинейные поляры точек, лежищих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид). Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности (если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке X, лежит на трилинейной поляре точки Y, то трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке Y лежит на трилинейной поляре точки X).

Кубики

Кубика — это кривая третьего порядка (задающаяся уравнением третьей степени). Многие замечательные кубики, связанные с треугольником, строятся следующим образом: фиксируется точка в плоскости (возможно, бесконечно удалённая). Тогда множество таких точек X, что прямая XX' проходит через эту точку, является описанной около треугольника кубикой (здесь X' — точка, изогонально сопряжённая X). Такие кубики проходят также через центры вписанной и вневписанных окружностей, а также через саму фиксированную точку и изогонально сопряжённую ей.[10]

Соотношения в треугольнике

Примечание: в данном разделе ~a, ~b, ~c — это длины трёх сторон треугольника, и  ~\alpha,  ~\beta,  ~\gamma — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы).

Неравенство треугольника

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон треугольника связаны следующими неравенствами:

Неравенство треугольника является одной из аксиом метрики.

Теорема о сумме углов треугольника

\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta + \boldsymbol \gamma = 180^\circ

Теорема синусов

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R ,

где R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Из теоремы следует, что если a < b < c, то ~\alpha < ~\beta < ~\gamma.

Теорема косинусов

 ~c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma

Является обобщением теоремы Пифагора.

Теорема тангенсов

\frac{a-b}{a+b} = \frac{tg[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{tg[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}.

Другое название: формула Региомонтана.

Прочие соотношения

Метрические соотношения в треугольнике приведены для \triangle ABC:

Где:

Решение треугольников

Вычисление неизвестных сторон и углов треугольника, исходя из известных, исторически получило название «решения треугольников». При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы.

Площадь треугольника

  1. S_{\triangle ABC}= \frac {1}{2} bh_b, так как \ h_b = a \sin \gamma, то:
  2. S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} ab \sin \gamma
  3. S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} r(a+b+c) = pr = (p-b)r_b
  4. S_{\triangle ABC}=\frac {abc}{4R}
  5. S_{\triangle ABC}= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = {1 \over 4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)} — формула Герона
  6. S_{\triangle ABC}= \frac {a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha}
  7. S_{\triangle ABC}= {2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}
  8. S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix}=\frac {\left|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\right|}{2}=
    
=\frac {\left|(x_B - x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)\right|}{2}
  9. S_{\triangle ABC}=\frac {c^2}{2(\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta)} — если треугольник задан по стороне и двум прилежащим к ней углам
  10. S_{\triangle ABC}=\frac {c^2\sin\alpha\sin\beta}{2\sin\gamma} — если треугольник задан по стороне и двум прилежащим к ней углам (аналогично формуле 6!)
  11. S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}) ориентированная площадь треугольника.
  12. S_{\triangle ABC}=\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}})(\frac{1}{h_{c}}+\frac{1}{h_{b}}-\frac{1}{h_{a}})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{c}}-\frac{1}{h_{b}})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}-\frac{1}{h_{c}})}}
Частные случаи
  1. S_{\triangle ABC}=\frac{ab}{2}=r^2+2rR — для прямоугольного треугольника
  2. S=\frac {a^2\sqrt{3}}{4} — для равностороннего треугольника
  3. S_{\triangle ABC}= 3r^2+2r^2\sqrt{2} — для прямоугольного равнобедренного треугольника
Обозначения

Для площади справедливы неравенства:

Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов

Пусть вершины треугольника находятся в точках \ \mathbf{r}_A (x_A,y_A,z_A), \ \mathbf{r}_B (x_B,y_B,z_B), \ \mathbf {r}_C (x_C,y_C,z_C).

Введём вектор площади \ \mathbf{S} =\frac12 [\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A,\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_A]. Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:


 \mathbf{S} =\frac12
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
x_B - x_A & y_B - y_A & z_B - z_A \\
x_C - x_A & y_C - y_A & z_C - z_A
\end{vmatrix}

Положим ~ \mathbf{S} =S_x \mathbf{i}+ S_y \mathbf{j}+ S_z \mathbf{k}, где ~ S_x, ~ S_y, ~ S_z — проекции треугольника на координатные плоскости. При этом


S_x =\frac12
\begin{vmatrix}
y_B - y_A & z_B - z_A \\
y_C - y_A & z_C - z_A
\end{vmatrix} = \frac12
\begin{vmatrix}
1 & y_A & z_A \\
1 & y_B & z_B \\
1 & y_C & z_C
\end{vmatrix}

и аналогично


S_y =\frac12
\begin{vmatrix}
x_A & 1 & z_A \\
x_B & 1 & z_B \\
x_C & 1 & z_C
\end{vmatrix}, \qquad
S_z =\frac12
\begin{vmatrix}
x_A & y_A & 1 \\
x_B & y_B & 1 \\
x_C & y_C & 1
\end{vmatrix}

Площадь треугольника равна S=\sqrt{S_x^2+S_y^2+S_z^2}.

Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона.

Теоремы о треугольниках

История изучения

Свойства треугольника, изучающиеся в школе, за редким исключением, известны с античности.

Теорема Чевы была доказана в XI веке арабским учёным Юсуфом аль-Мутаманом ибн Худом, однако его доказательство было забыто. Она была доказана вновь итальянским математиком Джованни Чевой в 1678 году.

Дальнейшее изучение треугольника началось в XVII веке: была доказана теорема Дезарга (1636), открыты некоторые свойства точки Торричелли (1659). В XVIII веке была обнаружена прямая Эйлера и окружность шести точек (1765). В 1828 году была доказана теорема Фейербаха. В начале XIX века была открыта точка Жергонна.

Многие факты, связанные с треугольником, были открыты в конце XIX века. К этому времени относится творчество Эмиля Лемуана, Анри Брокара, Жозефа Нейберга, Пьера Сонда́.

См. также

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «треугольник»

Примечания

  1. Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 108.
  2. Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 54.
  3. Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 55.
  4. Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 50.
  5. Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 110.
  6. Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 27—28.
  7. 1 2 Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — М.: МЦНМО, 2011. — 148 с. — ISBN 978-5-94057-732-4
  8. Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 125—126.
  9. Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 105.
  10. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2004.

Ссылки